積率母関数の覚え方

統計

統計で出てくる積率母関数って覚えてもすぐに忘れますよね。印象づけて覚えるためにマクローリン展開との関連性をメモる。

覚えたいこと

確率変数 X の積率母関数 M_X(t) は以下である。

M_X(t) = E [ e^{tX} ]

この関数を使うと以下のようにして n 次のモーメント E [ X^n ] を計算できる。

E [ X^n ] = \left.\frac{d^n M_X}{dt^n}\right|_{t=0}

印象付けて覚えよう

指数関数 e^x の マクローリン展開 は以下である。

e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^3}{3!} + \dots

x を tX に置き換えると以下となる。

e^{tX} = 1 + tX + \frac{(tX)^2}{2!}+ \frac{(tX)^3}{3!} + \dots

期待値 E は線形性があるので以下が成り立つ。

E[e^{tX}] = E[1] + E[tX] + E[\frac{(tX)^2}{2!}] + E[\frac{(tX)^3}{3!}] + \dots

定数倍を期待値の外に出すと以下となる。

E[e^{tX}] = E[1] + t E[X] + \frac{t^2}{2!} E[X^2] + \frac{t^3}{3!} E[X^3] + \dots

これが積率母関数 M_X(t) である。

両辺を微分してゆくと以下のようになる。

M_X(t) = E[1] + t E[X] + \frac{t^2}{2!} E[X^2] + \frac{t^3}{3!} E[X^3] + \dots\\ \frac{dM_X}{dt} = E[X] + t E[X^2] + \frac{t^2}{2!} E[X^3] + \frac{t^3}{3!} E[X^4] + \dots\\ \frac{d^2 M_X}{dt^2} = E[X^2] + t E[X^3] + \frac{t^2}{2!} E[X^4] + \frac{t^3}{3!} E[X^5] + \dots\\ \frac{d^n M_X}{dt^n} = E[X^n] + t E[X^{n+1}] + \dots

このように n 回微分して t=0 を代入すると右辺は n 次のモーメント E [ X^n ] だけが残る。

めでたし。

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